What (who) is gente de traza - definition

En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A. Es decir,

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$

donde a_ij representa el elemento que está en la fila i-ésima y en la columna j-ésima de A. Para cualquier otra matriz, la traza es la suma de sus valores propios.

Debido al especial comportamiento de la traza de una matriz al cambiar de base puede definirse unívocamente la traza de una aplicación lineal, independientemente de cual sea la base elegida. Si un espacio vectorial de dimensión finita está dotado de un producto escalar, y se tiene una base ortonormal entonces la traza de un endomorfismo de dicho espacio viene dada por:

${\displaystyle {\rm {tr}}\ f:=\sum _{k}\langle f(e_{k}),e_{k}\rangle }$

Puede comprobarse que si A_f es la matriz de dicha aplicación respecto a dicha base la cantidad anterior es igual a la traza de la matriz A. Y de hecho si B_f es la matriz de la misma aplicación respecto a cualquier otra base ortonormal se tiene:

${\displaystyle {\rm {tr}}\ f={\rm {tr}}\ A_{f}={\rm {tr}}\ B_{f}}$